MATLAB应用——数据分析与统计

$ m. v# n) Z& c( y* f+ A# {

4 M% e9 n6 c! H' T# f! [

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

e4 O- L( b8 v* e: Z

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

6 U/ T, Y1 q3 J- J

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

6 g O0 U' F6 s) X! e$ @, d ?

mx=max(count)

! X( w7 u G+ Z7 U3 a

mx = 114 145 257

& P5 V5 i" j" U0 T" x: f

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

, v# r& X: S7 f. r

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

+ F( ^3 K3 B& B+ |5 A ]

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

, v6 G1 \' R T! `4 {1 v

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

8 `, y$ f; R; D! k7 p* Q3 d1 e1 j( K, {7 y

0.9802 1.7144 2.6908

7 E* E* a" z# J( S5 D" {! I* }

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

9 ^, @5 H2 j) A9 \+ y

cr =

3 Z* g' J# Z, _5 S- t* q5 }

1.0000 0.9331 0.9599

9 }& b2 B* k, N+ r/ B+ N

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

+ |# ?& O4 c. q; i

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

. H% K2 O$ x' d

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

# u5 w* B$ p) ]# K* w

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

$ V2 L" V9 k# \" Z7 O+ j; ?

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

9 ` H6 q6 h) X+ P* X/ R* y+ t

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

- }; o* P# J' h! T! a9 X) ]- x

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

7 F6 P" R; n: |4 l; E$ R# p( @

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

: O/ G" j4 n2 O3 }6 B3 s

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

& P8 d9 f7 M: N# z$ w

b=X2\y;

) v& x0 Z7 N$ W5 A/ |) w" ~

T=[0:.1:2.5];

. Y1 G- B; Z) ?# D% b

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

subplot(1,2,1)

/ w$ x1 V" A4 v: e$ y" T

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

" k8 t: w. x2 j$ m$ b. u$ ~! K

title(多项式回归)

+ J5 r: C" u' z# [: u& I& C1 d

subplot(1,2,2)

7 C s3 @! q& e6 J7 W. |

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

( P/ ]6 i% g' e% o- D# U

title(指数函数回归)

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

/ E2 h3 [& |1 u+ H1 W; s$ R

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

O) v# i# t+ I/ S

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

% {/ x$ n5 j! Y, c" t: V* s

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

6 }) V+ x2 d, M* X. G9 @

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

5 a7 j- Z$ [: D2 A" L I3 X) p

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

' A, g2 X3 Z2 l$ C$ p. b B, t

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

/ k) x/ P" x8 t5 z9 \

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

+ i, F( u+ Z6 q* h/ {) T, @# k1 ]

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

7 Z5 x- a" R* G r/ {

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

( m: R, B# \/ y6 C/ j

m=abs(y);

! r, v5 C& g1 u# ?! Y: }

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

% c. |0 G2 m7 K

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

1 U0 y& s% ~- e/ ~' }7 V) I

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

- g6 l7 s. r- z7 ~

load sunspot.dat

- Z5 i9 U/ h ~# d9 B$ g6 ^% B

year=sunspot(:,1);

0 m# i; C6 p/ H* ?# O

wolfer=sunspot(:,2);

$ c6 @, v1 O7 a0 i& \

figure(1)

+ d$ u3 z! ]& Y* K1 u" F1 `" A7 G

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

* D+ l. f8 j1 X. s5 @/ o* @

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

& N5 C8 [2 X/ H

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

+ n+ C; P8 s5 w: b

nyquist=1/2;

7 P: q7 _ Q1 | u: r

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

+ F$ l7 b0 [! O

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

+ g& r0 I9 r% }8 B% ` _' U

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

; o( r) U. k$ O3 j

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！