MATLAB应用——数据分析与统计

6 g% S- [2 B" L0 y4 l% p' w

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

0 g- f" X3 u: h9 t0 @3 e+ G

load count.dat

6 M# C+ v2 c# c- _7 N; [

mx=max(count)

0 u# P( J( m% p& k

mx = 114 145 257

$ }/ {: _) K; x; C0 e% ]! A

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

. S6 {% Y2 T. |" [) `; R# r

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

% f0 T5 }: L* E& F

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

; |+ l" H& E4 f% M1 J

[mx,indx]=min(count)

) D- N3 c( T. o1 G5 U* f9 a. j

mx = 7 9 7

5 T9 \; I% d, J* l f

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

$ H0 u0 G2 _; R

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

cv=cov(count)

8 D7 H: {2 y; L7 o( d

cv = 1.0e+003 *

( P" h+ c. j9 g! A) E4 M5 N

0.6437 0.9802 1.6567

/ c8 k7 p. b4 B# W# B! ^) j

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

! H$ k4 L, s2 W- I: {, K# s& D

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

- y/ X. S4 O2 _+ F/ y# y) F

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

: x% \! s; b( _; e& ]; o

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

" E% s# V! }6 r) `& V: N

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

6 m2 \* ]" Z l _

(3)  x=x(~isnan(x))。

: N6 b% u- D/ A# o3 o

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

. s& y: ~# V: R2 I6 R% T

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

* ~8 _1 ~ V s( j2 j) P

3、回归和曲线拟合

7 q& ?" E: d* D, d1 y

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

_7 e7 H# R9 N" I5 [; _$ y7 f

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

; a# u1 S) b$ u- B1 z3 S

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

: r3 T2 D7 j+ Z8 Q$ G% @ A$ @

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

( Y: A% ~( K4 h5 A

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

1 y) |4 T0 ^: e2 R3 {8 q% g

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

$ s0 p7 N- T$ P* ^; c; X- U n, e- G

b=X2\y;

& j/ g4 t. Y, ^, ?) ?$ \$ Z3 J

T=[0:.1:2.5];

2 q: j p) w0 W; u; }! f }" u

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

9 [) [0 ?9 s! h& _0 k4 w

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

8 ?# t; f, F. q6 K+ ]

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

( N% X; D3 S. _; L3 k! Z1 k s

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

3 _# T; F! _. N: [; K. b$ T# c

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

% u6 `$ V7 r; H# N9 C" g

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

) ?) ?: s! K0 u7 f

4、傅里叶分析与FFT

, A' o# o. Z4 a$ B3 @3 o: y

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

. q& ]1 X, z( _. ^ f

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

5 B3 q3 s0 y+ e$ s7 g

t=0:1/119:1;

/ F* `( d; f# s3 x7 }

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

0 {# j4 g0 E' E8 W5 c q, ~

m=abs(y);

6 e' S4 j3 B$ y4 @. C" {/ ^

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

+ W; K* _$ [1 [& U

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

) K& P' m7 R9 Z% z+ Q, z

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

/ J) j4 W$ R! @6 H' \* n+ g3 z

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

8 S. L: I* H- R

t=0:1/199:1;

1 l5 Z8 T/ I' q6 i5 g

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

7 ?! d6 O- b+ Z U `" Y

y=fft(x);

m=abs(y);

; b( H; u$ W& z h

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

# C$ i$ [- `: a! O M

title(信号检测)

+ a' X3 F9 K# f, ]- s$ ]

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

P' ~: O% }+ W. b' M. E

subplot(2,1,2),plot(f,m)

& a# g' P# y6 |

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

$ C, a2 a3 n/ i- U ~

# O& w3 R0 H3 L0 t

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

x, p1 X2 r+ g

wolfer=sunspot(:,2);

3 k; \' l: Q' I3 h+ M% R

figure(1)

: d. B& U6 y( c4 _

subplot(2,1,1)

+ C0 @/ R, S) _7 ^/ g

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

! b7 S0 H* r2 }' O" h/ P! @/ Y/ H

Y=fft(wolfer);

2 F* Q+ T: ^+ C, Y1 M. Q6 X

N=length(Y);

9 E5 U! O9 c# d+ q. l1 u

Y(1)=[];

% H; @7 b2 P" \) r& b9 g0 Y

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

( j1 d) @5 @# l% L. }" w; H- `! u

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

2 ? H6 T ^% r

title(功率谱), grid on

( A- L3 a$ L4 Q. e* |1 x

axis([0 40 0 2e7])

) ~: {) ?- _. T0 T- Q. d

& |2 o. i# ~3 {9 {

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

' r( Z3 e, m, @( R 1 T% }# H* K2 x0 [! }9 u" _