MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

& x: b% U5 E& K/ [9 q. H* m+ y: ]

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

mx=max(count)

mx = 114 145 257

+ w: D6 b* H% Z* F) R( x# @* W4 p. S

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

% a: {% Q; w4 r1 |- V7 l# r

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

i+ A3 F6 W! G- K2 y/ U; w' @7 T

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

1 p3 u6 O: v- o7 S: q4 ?

indx = 2 23 24

) Z3 }$ o8 F9 a j- i! Q) }

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

) S- s" t3 M3 Q0 j

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

1 V5 v: A1 g% O

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

* x7 k. O; N2 }0 c+ i

0.9599 0.9553 1.0000

8 D6 P0 b1 p% r+ f

2、数据预处理

2 _1 ?8 S( G5 ?4 G7 c

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

9 I r: q6 O& e7 o- S" i9 H

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

$ l6 B% O! m( U* {& k

sum(a)

t% C" C( N+ A( x! S% X- X

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

. e5 w4 r# o9 @0 s3 d( p. O% Y: b

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

# B% ?8 q* Y' m5 w0 A

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

# V! B* b& V* m4 ^3 v$ H- y0 v" i

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

/ Y4 H4 d6 A* t5 e' |8 X

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

; N3 i/ _5 [' h+ i

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

* P% S* r6 b, r, @5 W8 D8 E

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

! T5 X' P) E6 W/ _5 G# p

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

' Y; \7 h! j p' _

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

0 j; m Y+ Z9 }# V+ ]' C

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

: w- X& Q- B8 p

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

3 [; H& U- ?7 J

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

" T+ ]; X* B( R1 j

figure(1)

subplot(1,2,1)

, G0 b f" z& |' s- D5 J1 `/ d

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

1 T2 k n! I1 y

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

/ Q- b# t, f0 h }: w8 U/ v7 W

title(指数函数回归)

& G1 f Y% O' ]' H* Z

3 W4 u1 C- ]% p1 k0 R

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

! a' G) i9 X9 j& s

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

: w& r7 P3 R" E5 }+ }

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

- R* M8 J z( h: [2 S. K

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

% \0 Q7 l1 A. z$ v* {# q

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

7 w4 y+ U, O+ `1 x) R( N* G

figure(1)

/ Y6 } i6 Y3 r$ `. | \1 }$ [; T/ H

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

& y. E a" e* F) C4 F8 {1 L! E# o

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

4 \& v! b* u4 U1 \: z

xlabel(Frequency (Hertz))

9 T+ J- s% z2 {9 L. ^

. g. R5 A9 _$ l3 [1 H5 K

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

: y6 [" a2 R3 X. c \4 g

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

4 V5 c5 n. i) f# ?' D& W

m=abs(y);

- V& _: S n. c# ]! F- B2 o

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

+ s5 q4 z& x9 a8 q

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

2 D! W s$ G# N& h! X0 l- }8 v

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

4 ~* b! v) U2 r. n! h4 J

xlabel(Frequency (Hertz))

: z; f% O# f$ A4 {* L, a6 u" q) h

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

" g% S8 x$ W* e1 K# T

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

! C' c% R% n) X% c% J

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

9 Q* ~# m: F+ b: j0 |& @ |

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

/ ~ h+ |7 n& N1 E9 T: [7 P1 A- W2 [! J4 D

N=length(Y);

Y(1)=[];

6 a1 @2 z4 x" H' J% T& o9 N

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

3 g! ~/ U" r( F; m; G7 |

nyquist=1/2;

) M6 [7 @( e: M5 V, O/ W- U- E1 Z7 \

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

* |. @; B, y: M( F

subplot(2,1,2)

* v3 G- r' Y; }/ c e8 [' F. l4 V

plot(period,power)

9 B1 S# e# E* Q0 r& d

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

) `# \" c0 \9 J8 A i' w; W

( V: s3 s+ D2 s* }$ U

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

1 E! q: ]3 J `1 ? ( G' \) J' Q5 \; o& d: H4 p* Y0 f 5 d( W* H3 c$ |3 H& o