窦华书：湍流及流动稳定性的公理、推论和定理

众所周知，湍流是著名的物理学世纪难题。著名物理学家诺贝尔奖获得者费曼说过,湍流是至今没有得到解决的经典物理学的最后一个问题。自从Navier-Stokes方程（1821-1845）建立以来的200年间，自从Reynolds进行的著名的层流-湍流转捩实验（1883）以来的140年来，众多位科学先辈做了大量的理论、实验和计算研究工作，对湍流问题都百思不得其解。在这方面做出巨大贡献和努力的著名科学家包括普朗特、泰勒、von Karman、Kolmogorov，周培源、林家翘、John von Neumann等人，还包括著名诺贝尔奖获得者Rayleigh、朗道、海森堡、费曼、Chandrasekhar、Onsager等人。在二十世纪，经典物理学被得以终结，相对论和量子力学被得到普遍理论认可和已经获得广泛实际应用的情况下，湍流问题还没有得到解决，湍流问题真的是太难了。
偏偏有人不怕难，为了彻底解决湍流问题，窦华书经过30多年的艰苦努力，建立了能量梯度理论，针对不可压缩流体，进一步发展了关于流体力学中的流动稳定性及湍流的公理、推论和定理。根据能量梯度理论和流体流动的动量方程即Navier-Stokes方程，窦华书在其发表的学术论文及专著中给出了若干公理、推论和定理，见下面 [1-8]。这些科学定律得出的条件是流动受到有限扰动，而不是线性扰动；这里面的主要区别是有限扰动能够改变流场中的机械能分布并诱发奇点，而线性扰动不能，这是导致湍流产生的流动之所以失稳的关键机理。这些流体力学的公理、推论和定理，在其他教科书上是没有的，是窦华书首次建立的 [1]。正是基于这些研究基础和结论，窦华书在国际上首次成功地解决了湍流的百年难题（湍流是怎么产生的），发现了湍流是由Navier-Stokes方程的奇异性所引起（图1-5）。2000年，美国Clay数学所宣布了7个千禧年大奖难题，Navier-Stokes方程的存在性及光滑性问题为其中之一，窦华书分别采用能量梯度理论和泊松方程分析方法，在国际上首次给出了正确的答案，即对转捩流动和湍流流动，Navier-Stokes方程不存在全局定义域上的光滑解 [1-8]。

窦华书的理论与所有能够得到的大量实验数据获得了一致性；推翻了过去100多年间前人得出的许多有关湍流及流动稳定性的已有结论。原有的那些定理、结论，互相矛盾，与实验不一致，不能解决湍流问题。湍流问题的真正解决必然推翻那些互相不一致的定理和结论。比如，一个正确的物理学的准则，必然既是必要条件也是充分条件。一个所谓的必要条件，还有进一步的必要条件，另外的必要条件（没有充分条件），都不能拿来作为物理学的准则，可是这些被写在了教科书中，并被用来分析湍流的发生机理。作者认为，湍流问题没有得到解决与这些误导是有很大关系的。一个没有充分条件的必要条件是没有多大意义的。
" |9 Y- A. ^, ]公理是自然界能够被普遍认可的科学规律，是不需要证明的。定理是根据已有的科学公理和定理进行证明的科学规律。推论是根据已有的公理和定理进一步逻辑推断得到的结论。下面是窦华书建立的公理、推论和定理 [1]:

& K7 s+ N8 W& ^" m0 U5 A1.公理 (Axiom)
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公理5.1 在实验室系统中，如果总机械能沿流动方向的梯度小于零，则流动是可能的。
公理5.2 在实验室系统中，如果沿着垂直于流线的方向的总机械能梯度为零，则流动是稳定的，否则可能不稳定。
: e) m1 \; {9 o/ x公理5.3 在实验室系统中，如果沿着流线的总机械能梯度为零，则流速为零。
公理5.4 在实验室系统中，在剪切驱动的平行流中，如果对流体单元上的剪切应力做功为零，则流动将立刻停止，速度为零。
上面的公理5.1，5.2，5.3适用于压力驱动流动（pipe flow, channel flow, Dean flow, etc）；公理5.4适用于剪切驱动流动(plane Couette flow, etc)。这两种情况的区别就是看看有没有外部对流体做功。因为能量和做功都不是伽利略不变量，参照系选择在实验室系统。
' ]2 J1 f# p/ C9 e4 h# P  H2. 推论 (Corollary)
5 S: e5 O- L1 C7 m, C推论5.1 湍流中猝发（burst）的发生伴随着压力峰值。
& Z# E% _+ V% l- {推论8.1 粘性在平行流中仅起稳定作用（粘度越大越稳定）。
% {1 Q# Z( {  J8 M' I( B3 E推论8.2 粘性在圆周流动中仅起稳定作用（粘度越大越稳定）。
3 _5 |% O7 V* C. f) f推论8.3 势流中不会产生湍流。
3. 定理 (Theorem)
定理4.1 当系统没有功输入或输出时，具有拐点的速度分布是不稳定的。
7 N) I0 T/ S* a定理5.1 速度剖面上的拐点是Navier-Stokes方程的奇点，此处速度发生间断。
定理5.2 在高雷诺数（对转捩流动和湍流流动）下，Navier-Stokes方程不存在光滑的且物理上合理的解。（此定理在数学上精确地回答了千禧年大奖难题）。
定理5.3 无粘流动中不会产生湍流 （是因为不会产生奇点）。
7 t6 ]5 x* ]- o5 d# B$ R定理5.4 在剪切驱动流（平行流）中，速度剖面上存在Navier-Stokes方程的奇点，在该奇点处速度梯度为零，且速度发生间断。
定理6.1 在剪切驱动流（非平行流）中，速度剖面上存在Navier-Stokes方程的奇点，在该奇点处

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，且速度发生间断。
定理7.1 湍流转捩/湍流产生的充分必要条件是流场中能量梯度函数K (K=法向能量梯度/流向能量损失)为无穷大。
& h( {6 a5 W- g7 z" y7 r定理7.2 对于压力驱动流动，湍流转捩的充分必要条件是速度剖面上存在速度拐点。
% V+ P# c8 t+ z0 D' e* M定理7.3 对于剪切驱动流动，湍流转捩的充分必要条件是速度剖面上存在零速度梯度。
1 X( j# j6 B' {$ V( e- y定理7.4 湍流产生/湍流转捩的充分必要条件是流场中出现Navier-Stokes方程的奇点（速度发生间断）(此定理在物理学上成功地解决了百年湍流难题)。
; ]! d" f6 \9 k" v6 G% B定理8.1 势流（无粘和无旋）是稳定的。
定理8.2 无粘有旋流动是不稳定的。
定理8.3 自由涡是稳定的。
定理8.4 强制涡是不稳定的。

定理7.1的证明:
) I! a& i3 t' }# B" U6 Y& ~充分性：如果K无穷大，则K的分母为零，即没有能量消耗，则u=0，发生间断，湍流产生。
( ]( n. u$ ?9 S- ^0 Q必要性：如果湍流产生，则发生间断u=0，即能量消耗为零，分母为零，则K无穷大。
定理7.4的证明:
充分性：如果速度发生间断u=0，有了奇点，则会产生涨落、产生新涡量，即湍流产生。
) e3 F3 s4 w2 w6 f* G: D$ H必要性：如果湍流产生，则必须有新涡量，必须有涨落，必须间断u=0，发生奇点。
* ~: Y$ [+ J0 g% F5 p4 z定理7.1和7.4是等价的；其他定理的证明参见[1]。定理4.1和5.1适用于压力驱动流动。定理5.2是在压力驱动流动条件下得到的，此定理也适用于剪切驱动流动。湍流只能产生在粘性流体中，是因为粘性的作用能够制造奇点。没有粘性就没有奇点，所以没有粘性，就没有湍流。如果要更好地理解这些公理、推论和定理，请参考专著[1]的上下文。奇点的理论速度为零，与驻点速度为零是不一样的，驻点是沿流线速度逐渐变化到u=0。奇点是沿流线速度突然断崖式变化到u=0。

参考文献
1 ?) m, j# k8 ~7 }  F1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer. www.52ocean.cn (全书下载地址).
2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下： https://arxiv.org/abs/nlin/0501049
3.科学网-海森堡的第二个问题终于有了答案，窦华书的博文。
" l9 Z  _1 R, W5 {& B$ q6 x) v9 bwww.52ocean.cn
: H! g7 u, \& A; M/ w4.新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授。www.52ocean.cn
, d! e" T1 \* X% H1 b$ U5.窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html
) B( v7 D# b+ E9 l+ `# \8 Z9 h6.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。www.52ocean.cn
6 {" j! W) w# _( Z$ J0 P7. 湍流是怎样产生的? 最新研究进展！www.52ocean.cn
4 h$ @5 x9 `- K8.千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明,
www.52ocean.cn
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图1 边界层转捩过程中湍流斑的形成（Gad-El-Hak et al. 1981）。实验表明湍流斑是局部湍流区，它由局部低速区（奇点）导致的湍流猝发所产生。

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图2 边界层转捩中的流动可视化。左边 Experiment of Hama & Nutant (1963); 右边 simulation of Zang & Hussaini (1987)。奇点诱导的猝发清晰可见。猝发引起了流体内部旋涡的产生。

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图3 边界层湍流中的速度亏损（奇点）导致的猝发现象（Kline et al. 1967, experiment）。

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图4 平面Couette流动中的湍流猝发和转捩（DNS结果，奇点引起），t=10,20,140,160 （Cherubini and De Palma，2013）

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6 i; P, _# g, ^" a- _8 m3 N4 u, o图5 平面Poiseuille流动中由奇点导致的湍流转捩（LES结果，Schlatter et al 2006）。Colour plot of the streamwise velocity u for the one-, three- and five-spike stages in the peak plane (y = Ly/2) with superimposed contours of negative λ2. Left: temporal evolution of data obtained from the spatial LES at a fixed location x. Right: temporal simulation. 根据能量梯度理论的预测，奇点位于中心面两侧正负z/h=0.6的位置，实验结果已经证明最初产生的奇点位于正负z/h=0.6的位置。图5的LES (文中也包括DNS结果）与理论预测结果基本一致。

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